Tajemnice przyrody i matematyki - Ciąg Fibonacciego i liczba Fi - Niewiarygodne, niewyjaśnione

Krótki rys historyczny

Bez większej przesady można powiedzieć, że europejska matematyka po wielu wiekach uśpienia zaczęła się odradzać na przełomie XII i XIII wieku i to za sprawą jednego człowieka. Był nim Pizańczyk - Leonardo Fibonacci (circa 1170 - circa 1240). To sympatycznie brzmiące nazwisko kryje w sobie łacińskie filius Bonacci, czyli syn Bonacciego; z kolei, Bonaccio można (z grubsza) tłumaczyć jako: poczciwiec. Należy wspomnieć o ojcu, bo prawdopodobnie jemu zawdzięczamy pośrednio sukcesy syna. Bonaccio, pizański kupiec, był szefem włoskiej kolonii w północno-afrykańskim porcie, Boużia (dziś algierska Beżaja). Tam Leonardo pobierał pierwsze lekcje matematyki u arabskiego nauczyciela. Widocznie dobrze się sprawował, bo dalsze studia zawiodły go w rozliczne miejsca. Były to Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia - nieźle jak na 12-wiecznego studenta. Po powrocie do Pizy, w 1202 roku, Leonardo napisał swoje głośne dzieło Liber Abaci (Księga Rachunków), w której pojawiają się, i to w pierwszym rozdziale, arabskie a raczej hinduskie cyfry.

Liczby Fibonacciego

Jedne z najpopularniejszych liczb w informatyce są związane z pytaniem, jakie zawarł Leonardo Fibonacci w swojej książce Liber abaci opublikowanej w 1202 roku, a dotyczącym szybkości rozmnażania się królików.

Na początku mamy parę nowonarodzonych królików i o każdej parze królików zakładamy, że:

             • nowa para staje się płodna po miesiącu życia;
             • każda płodna para rodzi jedną parę nowych królików w miesiącu;
             • króliki nigdy nie umierają.

Oryginalne pytanie Fibonacciego brzmiało: ile będzie par królików po upływie roku?

Najczęściej pytamy, ile będzie par królików po upływie k miesięcy - oznaczamy tę liczbę przez Fn i nazywamy liczbą Fibonacciego. Na poniższym rysunku przedstawiony jest schemat rozrastania się stada królików w ciągu kilku początkowych miesięcy (litera M oznacza parę młodych, a litera R - parę rozmnażających się już królików). W pierwszym i drugim miesiącu mamy tylko jedną parę, z tym, że w drugim miesiącu może ona dać już parę młodych.  Zatem w trzecim miesiącu są już dwie pary, przy czym tylko ta starsza może dalej rodzić młode. Stąd, w czwartym miesiącu są już trzy pary, z których dwie, a więc tyle ile było w poprzednim miesiącu, mogą rodzić. Czyli w następnym miesiącu mamy te trzy pary i dwie pary młodych, razem pięć par. I tak dalej. Otrzymujemy, więc ciąg liczb: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 itd. Właśnie ten ciąg liczbowy został nazwany ciągiem Fibonacciego.

Z warunków rozmnażania się królików wnioskujemy, że w kolejnym miesiącu liczb par królików będzie równa liczbie par z poprzedniego miesiąca, gdyż króliki nie wymierają, plus liczba par nowonarodzonych królików, a tych jest tyle, ile było par dwa miesiące wcześniej. Zatem kolejna liczba Fibonacciego jest sumą dwóch poprzednich. Stosując oznaczenie na liczbę par królików w danym miesiącu, ten wniosek można zapisać w postaci: Fn = Fn-1 + Fn-2 lub Fn+2 = Fn+1 + Fn gdzie n jest równe przynajmniej 3, aby można się było odwoływać do poprzednich miesięcy.
   
Zadanie o królikach było przytoczone w księdze Liber abaci nie jako przykład zastosowania ciągu dla biologa czy przykład demograficznego „wybuchu”. To było proste ćwiczenie na dodawanie. Fibonacci pisał: „Dodawanie w takim porządku można kontynuować przez nieskończoną liczbę miesięcy”. Sytuacja z królikami nie wygląda zbyt realistycznie, po Fibonaccim jego ciąg wykorzystywano w problemach bardziej realistycznych, jak choćby krowy Dudeney"a, czy populacje pszczół. Ale Fibonacci zajął się królikami i to on jest autorem tego szczególnego ciągu. Ten sam ciąg pojawił się w pracy Keplera w 1611 roku w związku z badaniem tzw. filotaksji – uporządkowane położenie liści na łodydze.

Materiał chroniony prawem autorskim - wszelkie prawa zastrzeżone. Dalsze rozpowszechnianie artykułu za zgodą Altao.pl. Kup licencję