Liczba Fi i ciąg Fibanacciego w przyrodzie

 

Fibonacci był w samej rzeczy najsłynniejszym matematykiem epoki średniowiecza, ale prawdopodobnie nie spodziewał się, że właśnie odkrycie ciągu przyniesie mu nieśmiertelność. Wzmiankę o ciągu odnalazł na marginesie księgi „Liber Abaci” Fibonacciego inny matematyk. Później okazało się, że ta banalna z pozoru zależność opisuje szereg zjawisk naturalnych (opisuje kształty i procesy fizyczne), a ponadto ściśle wiąże się z geometrią i sztuką (zjawiska oparte na nim sprawiają są atrakcyjne dla ludzkich zmysłów). Z tego powodu, spośród wszystkich ciągów geometrycznych, ciąg Fibonacciego okazał się najbardziej istotny. Jego podstawową własnością jest to, że każda liczba (począwszy od trzeciej) jest sumą dwóch liczb poprzedzających. To nie wszystko. Jeśli podzielimy dowolną liczbę ciągu przez liczbę ją poprzedzającą wówczas otrzymamy iloraz oscylujący wokół 1,61804 - znany w geometrii jako złota proporcja, zapisywana przy pomocy 21 litery alfabetu greckiego Φ - czytaj jako fi (im większe liczby dzielimy, tym iloraz jest bliższy złotej proporcji).

Odcinek podzielony na dwie części zgodnie z zachowaniem reguł złotej proporcji to taki, w którym większa część pozostaje w takiej samej relacji do mniejszej, jak całość do większej Tylko jedna proporcja pozwala na taki podział odcinka - jest to właśnie złota proporcja, czyli liczba Φ. Aby zrozumieć związek między królikami i odcinkami geometrycznymi wystarczy wyobrazić sobie, że dowolny odcinek dzielimy na dwa przy użyciu złotej proporcji, a następnie układamy odcinki na linii w kolejności od najkrótszego do najdłuższego. Suma pierwszego i drugiego daje trzeci, pierwszy można ponownie podzielić, trzeci z drugim daje czwarty itd. Można powiedzieć, że ciąg Fibonacciego jest przeniesieniem złotej proporcji na zbiór liczb naturalnych (liczb będących wielokrotnością liczby 1).

Warto wiedzieć, że złota proporcja istniała daleko przed greckim matematykiem Pitagorasem, którą ją spopularyzował. Najstarsza wzmianka o Φ jako o „świętej proporcji” sięga 1650 rok p.n.e. kiedy to spisano w Egipcie papirus Rhinda opisujący konstrukcję Wielkiej Piramidy w Gizie. Po tych nieco teoretycznych rozważaniach czas pokazać miejsce liczby phi i ciągu Fibonacciego w przyrodzie.

 

Filozof Platon uważał, że Złota Proporcja, a co za tym idzie także liczba fi, może być kluczem do Wszechświata. Fale radiowe wysyłane przez pulsary odpowiadają liczbom Fibonacciego, periodyczność występowania plam na słońcu wynosi niemal dokładnie 5 razy pierwiastek z 5. Spiralny kształt galaktyk również ma ścisły związek z ciągiem Fibonacciego.

 

Zaskakujące jest, że liczba fi pełni często rolę fundamentalnego klocka, którym posługuje się natura. Kiedy starożytni odkryli fi, byli pewni, że nareszcie natknęli się na element budulcowy, którym posługiwał się sam Bóg, konstruując świat. Okazało się, bowiem, że ten chaos w otaczającym nas świecie i życie, które mogłoby uchylać się od wszelkich zasad, mają swój wewnętrzny porządek. Bardzo wiele żywych organizmów ma w sobie cechy wymiarów, które są zgodne z przedziwną ścisłością stosunku fi do jedności.

Świat roślin:

W 1202 roku Leonardo Fibonacci zauważył, że podczas wzrostu roślina wypuszcza nowe pędy zgodnie z zasadami pewnego ciągu liczbowego (mówimy tu oczywiście o ciągu Fibonacciego). Tak, więc stosunek ilości pędów wypuszczanych przez roślinę w kolejnych latach jest równy ni mniej ni więcej tylko liczbie fi. Ciąg Fibonacciego i złote proporcje są bardzo dobrze widoczne w świecie flory. Zjawisko zwane spiralną filotaksją cechuje bardzo wiele gatunków drzew i roślin. W przypadku drzew chodzi tutaj o strukturę gałęzi układających się spiralnie wokół pnia, w świecie roślin mamy na myśli liście. Gdyby ponumerować gałęzie zgodnie z wysokością, na jakiej wyrosły wówczas okaże się, że liczba gałęzi sąsiadujących pionowo jest liczbą Fibonacciego, a ponadto liczba gałęzi pomiędzy gałęziami sąsiadującymi pionowo również jest liczbą Fibonacciego. Jeśli spojrzymy w dół na roślinę wówczas zauważymy, że liście wzajemnie się nie zasłaniają, co umożliwia maksymalne wykorzystanie energii słońca oraz zebranie największej ilości deszczu, który spływa po liściach do pnia i korzenia. Reguła spiralnej filotaksji umożliwia ponadto maksymalne wykorzystanie posiadanego miejsca. Jest również uniwersalna i niezależna od wielkości rośliny. Odmiany roślin różnią się współczynnikiem filotaksji, ale niezmiennie występuje w nim liczba Fibonacciego. Kwiaty wielu roślin podlegają „regule” Fibonacciego, np. lilie i irysy mają 3 płatki, niektóre astry 21 płatków. Podobnie jak to ma miejsce w przypadku gałęzi i liści, występują odchylenia od tej zasady, aczkolwiek średnie są zawsze bardzo bliskie liczbom Fibonacciego.

Bardzo dobrym reprezentantem reguły Fibonacciego jest swojski słonecznik. Wykazuje on spiralną filotaksję jak również jego pestki ułożone są wzdłuż logarytmicznych krzywych biegnących grupami w różnych kierunkach. Liczba krzywych w każdej grupie jest liczbą Fibonacciego, zaś liczba grup równie należy do ciągu Fibonacciego.

Nie wszystkie gatunki roślin działają zgodnie z ciągiem Fibonacciego i zasadą spiralnej filotaksji. Niektóre na przykład funkcjonują w oparciu o ciąg Lucasa, tworzony dokładnie tak jak Fibonacciego, tyle tylko, że pierwszymi wyrazami ciągu są liczby 2 i 1 (następna 7,9,16).

Zanalizujmy teraz budowę liści. W ich układzie na wspólnej gałązce można odnaleźć zastosowanie złotego cięcia. Między każdymi dwiema parami listków trzeci leży w miejscu złotego cięcia. Liczby Fibonacciego (a wraz z nimi nasza fi) kryją się także w kwiatach: jak się okazuje, na bardzo wielu kwiatach występuje stała liczba płatków: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 lub 89. Lilie mają trzy płatki, jaskry pięć, wiele ostróżek osiem, nagietki trzynaście, astry 21, a stokrotki 34, 55 lub 89.

Świat zwierząt:

Najbardziej efektownym przejawem istnienia złotej proporcji w świecie zwierząt są zapewne muszle, których kształt układa się zgodnie z przebiegiem tzw. Spirali Fibonacciego. Aby matematycznie uzyskać taką spiralę należy przeprowadzić resekcję zgodnie ze złotym podziałem w dwóch wymiarach przestrzeni. Wyobraźmy sobie odcinek podzielony na dwa mniejsze w ten sposób, że mniejszy ma się tak do większego, jak większy do całości. Odcinek większy staje się bokiem kwadratu, który dorysowujemy, zaś odcinek mniejszy tworzy wraz z drugim bokiem tego kwadratu prostokąt. W efekcie otrzymujemy prostokąt, podzielony ma kwadrat i mniejszy prostokąt. Następnie dzielimy mniejszy prostokąt w identyczny sposób i postępujemy tak, aż do utraty rozdzielczości na kartce papieru. Teraz w każdym kwadracie zakreślamy ćwiartkę okręgu, o promieniu równym długości boku, a po połączeniu wszystkich ćwiartek otrzymujemy gotową spiralę.

Przyglądając się tej spirali i muszli ślimaka, od razu zauważamy wyraźne podobieństwo. Złota spirala występuje w większości kształtów muszli ślimaków czy ostryg. Wszystko, dlatego, że im są one większe tym szybciej rosną, podobnie jak powiększa się nasza hodowla królików.

 

Materiał chroniony prawem autorskim - wszelkie prawa zastrzeżone. Dalsze rozpowszechnianie artykułu za zgodą Altao.pl. Kup licencję