Liczby Fibonacciego, a ludzkie ciało

Najbliższe nam liczby Fibonacciego to 1,2 i 5, pięć palców u każdej ręki, dwie kończyny górne i dwie dolne, pięć zmysłów, trzy wypustki głowy (dwoje uszu i nos), trzy otwory głowy (dwoje oczu i usta) i pojedyncze organy. W tym schemacie identycznych części ciała brakuje liczby 4, a nawet, jeśli uznamy cztery kończyny za należące do tej samej kategorii, to znacznie więcej znajdziemy w naszym ciele liczb 5. Poza tym, u większości ludzi wysokość do pępka stanowi 0,618 łącznej wysokości, co zauważył i naszkicował Leonardo da Vinci. Jeśli zmierzymy długość poszczególnych kości palców wówczas ich proporcje będą również oscylowały wokół liczby fi.

Każdy z nas widział lub słyszał kiedyś o słynnym szkicu Leonarda da Vinci: „Człowiek witruwiański”. Jednak niewielu z nas zastanawiało się nad jego nazwą (nawet nieliczni ją znają). Pochodzi ona od starożytnego architekta Witruwiusza, który w swoim traktacie „O architekturze” tak pisał:

„Symetria [podkreślmy, że nie mająca nic wspólnego z tym, co obecnie tak nazywamy] polega na zgodności miary między rozmaitymi elementami dzieła, a także między tymi elementami branymi oddzielnie i całością... [czy czegoś ci to nie przypomina? wspomnij Złoty Podział Odcinka] Podobnie jak to się ma z ludzkim ciałem, wypływa ona z proporcji – zwanej przez Greków „analogią”, czyli współbrzmieniem między każdą częścią i całością...” Witruwiusz rozwodzi się długo nad tą doskonałą „symfonią” proporcji w ludzkim ciele i można przypuszczać, że właśnie dlatego Leonardo da Vinci jego imieniem nazwał swój szkic przedstawiający złoty podział jako podstawę pomiarów ludzkiego ciała.
   
W ludzkim ciele, w dokładniej w ciele mężczyzny, zarówno cała postać, jak i wiele poszczególnych części podlega prawom złotego cięcia.

Weźmy na początek całą postać:

           • Odległość od biodra do podłogi / odległość od kolana do podłogi = fi
           • Odległość od czubka głowy do podłogi / odległość od pępka do podłogi = fi
           • Odległość od czubka głowy do pępka / odległość od ramienia do pępka = fi

Zanalizujmy teraz rękę i dłoń:

         • Odległość między ramieniem a czubkiem palców / odległość między łokciem a czubkiem palców= fi

          • Odległość od łokcia do nadgarstka / odległość od nadgarstka do czubka palców= fi
          • Odległość od ramienia do łokcia / odległość od pachy do łokcia = liczba fi

Podobne zależności znajdziemy mierząc palce u nóg, stawy dłoni, odległości między kręgami.

 

Związek ze sztuką, architekturą i muzyką

Złoty podział kojarzy się współczesnym ludziom sztuki przede wszystkim z dziejami starożytnymi, kiedy było ono powszechnie obowiązującym kanonem piękna.

Złoty Podział popularny był już w pradawnych czasach - za przykład posłużyć tu może doskonale wszystkim znana Piramida Cheopsa, zbudowana według tego właśnie podziału. Przyglądając się jej konstrukcji zauważamy, iż liczba fi pojawia się tam wiele razy: uzyskujemy ją np. dzieląc całkowitą powierzchnię piramidy przez powierzchnię jej boków, łączną powierzchnię jej boków przez powierzchnię podstawy czy też wysokość boku piramidy przez połowę długości boku jej podstawy. Praktycznie stosowano złoty podział głównie w projektowaniu wnętrz, a także sprawdzano jego istnienie we wnętrzach uznanych za doskonałe. Np. Sala długości 16m, szerokości ok. 10m i wysokości 6m miałaby proporcje bardzo zbliżone do podyktowanych złotym podziałem.
   
Proporcją posłużono się również przy budowie Partenonu w Atenach. W tym ostatnim wyraźnie widać współwystępujące kształty prostokątów, takich jak ten, który tworzymy przy kreśleniu Spirali Fibonacciego. Później, złotą proporcję stosowano przy budowie katedr zwanych gotyckimi. Obecnie jest równie chętnie stosowana przez architektów jak niegdyś. Spośród artystów stosujących phi wymienić należy Albrechta Durera, Georgesa Seurata, Paula Signaca oraz oczywiście Leonarda da Vinci (warto przyjrzeć się obrazowi „Madonna z dzieciątkiem”).

Muzyka:

Jak wszyscy wiedzą, ważne w niej miejsce zajmują takty i miara, jednym słowem – liczby. Dla starożytnych Greków muzyka była częścią filozofii matematycznej, mówiącej o ogólnej teorii Harmonii Wszechświata. Bezpośredni uczniowie Pitagorasa, a także inni autorzy, właśnie jemu przypisują odkrycie matematycznych praw harmonii. Istotnie, zależności pomiędzy poszczególnymi dźwiękami w muzyce opierają się właśnie na nich, a dokładniej rzecz biorąc, na liczbie fi. Zakres dźwięków słyszalnych rozciąga się od 32 (największe piszczałki w organach) do 73700 (granie cykad) drgań na sekundę. Dźwięki zawarte w przedziale 60-33000 drgań mają charakter muzyczny.  Przykładem może być dźwięk c1, którego liczba drgań wynosi 258,6. Odległość pomiędzy dwoma dźwiękami nazywa się interwałem. Obserwując różnego rodzaju interwały, łatwo zauważyć, iż te brzmiące najprzyjemniej dla ludzkiego ucha, powstają właśnie na podstawie liczby fi. Zależność ta przedstawia się następująco: każdemu dźwiękowi odpowiada pewna liczba drań na sekundę.
 
Porównując ze sobą liczby drgań poszczególnych dźwięków tworzących interwał, otrzymujemy odpowiednie proporcje:

                  • 3 : 2 = 1,5          (kwinta)
                  • 4 : 3 = 1,333…  (kwarta)
                  • 5 : 4 = 1,25        (tercja zwiększona)
                  • 6 : 5 = 1,2          (tercja zmniejszona)
                  • 5 : 3 = 1,666…  (seksta zmniejszona)
                  • 8 : 5 = 1,6          (seksta zwiększona)
                  • 2 : 1 = 2             (oktawa) .

Jak widać, dźwięki tworzące interwały powszechnie uważane za te „lepiej brzmiące”, pozostają ze sobą w stosunku najbardziej zbliżonym do liczby Φ. 

Liczba fi pojawia się także w dziełach wielkich muzyków. Większość z sonat Amadeusza Mozarta podzielona była na dwie części dokładnie z zachowaniem Złotej Proporcji. Wielu badaczy doszukuje się Złotego Cięcia w Piątej Symfonii Ludwiga van Beethovena oraz w muzyce takich wirtuozów jak Claude Debussy czy Franciszek Schubert. Wiemy również, że Antonio Stradivarius korzystał ze Złotego Podziału podczas konstruowania swoich najlepszych wiolonczeli.

Jak sami widzicie, matematyka potrafi nas zaskakiwać na każdym kroku. Kto wie, jakie jeszcze skrywa tajemnice.

Materiał chroniony prawem autorskim - wszelkie prawa zastrzeżone. Dalsze rozpowszechnianie artykułu za zgodą Altao.pl. Kup licencję